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기대수익율과 위험(Expected Rate of Return and Risk)
기대수익율은 미래의 투자안으로부터 얻을 수익율의 평균값입니다.
어떤 프로젝트가 호황일 때 어느 정도의 수익이 나고, 불황일 때 어느 정도의 수익이 나고, 보통은 어느 정도가 나는데, 호황, 불황, 보통의 확률이 각각 어떤 값을 가질 때 우리는 이 세가지 경우 모두를 통합한 기대값을 구할 수 있습니다. 그 값이 프로젝트를 수행했을 때 기대되는 평균적인 수익율, 기대수익율입니다.
리스크(risk)란 무엇일까요? 재무관리학에서 리스크는 미래수익율의 변동성입니다. 수익율의 변동이 크면 위험한 프로젝트입니다. 변동이 작으면 덜 위험한 것입니다. 수학적으로는 수익율 확률분포의 분산이나 표준편차입니다.
기대수익율을 E(r)이라고 할 때,
이 때 r은 수익율, p는 수익율 r이 발생할 확률입니다. 위험은 분산을 구하면 되므로,
1000을 투자했다면,
| 경기 | 확률 | 프로젝트 A | 프로젝트 B | 프로젝트 C |
| 불황 | 0.2 | 950 | 950 | 900 |
| 보통 | 0.5 | 1200 | 1150 | 1190 |
| 호황 | 0.3 | 1200 | 1450 | 1250 |
수익율 r의 분포는,
| 경기 | 확률 | 프로젝트 A | 프로젝트 B | 프로젝트 C |
| 불황 | 0.2 | -5% | -5% | -10% |
| 보통 | 0.5 | 20% | 15% | 19% |
| 호황 | 0.3 | 20% | 45% | 25% |
이므로 A,B,C 각각의 기대수익율은, (수익율 x 확률)을 모두 합하면 됩니다.
E(rA) = -5(0.2) + 20(0.5) + 20(0.3) = 15%
E(rB) = -5(0.2) + 15(0.5) + 45(0.3) = 20%
E(rC) = -10(0.2) + 19(0.5) + 25(0.3) = 15%
B가 제일 수익율이 좋습니다. 위험(분산)도 구해봅시다.
A의 분산 = (-5-15)2(0.2) + (20-15)2(0.5) + (20-15)2(0.3) = 100
B의 분산 = (-5-20)2(0.2) + (15-20)2(0.5) + (45-20)2(0.3) = 325
C의 분산 = (-10-15)2(0.2) + (19-15)2(0.5) + (25-15)2(0.3) = 163
위와 같이 확률분포를 아는 경우는 위험(risk)라 합니다. 확률분포조차 알지 못하는 경우는 불확실성(uncertainty)이라 합니다.
리스크에 대한 투자자의 태도
위험에 대한 투자자의 태도에는 크게 세 가지가 있습니다. 같은 기대수익율을 갖는 프로젝트에 대해서 위험이 증가하면 효용이 감소하는, 즉 위험한 것을 싫어하는 유형을 위험회피형(Risk Averse type)이라 합니다. 반대로 위험할수록 효용이 커지는 유형을 위험추구형(Risk seeking type)이라 합니다. 위험이 효용에 영향을 미치지 않는 유형은 위험중립형(Risk Neutral type)입니다. 세 유형을 그래프를 통해 봅시다.
수익율과 효용사이의 관계 그래프입니다. 원점에 대해서 오목하면 risk-averse입니다. 원점에 대해서 볼록하면 risk-seeking입니다. 왜 그럴까요?
EU(x)는 효용의 기대값입니다. 수익이 x1일 경우의 효용인 U(x1)과 x2인 경우의 효용인 U(x2)의 평균입니다.
E(x)는 수익율의 기대값입니다. 그리고, 수익율의 기대값인 E(x)를 얻었을 때의 효용을 U(E(x))라고 하며 '기대치의 효용'이라고 합니다. 반대로 EU(x), 즉 효용의 평균(=기대값)에 해당하는 수익율을 CE(Certainty Equivalent, 확실성등가)라고 합니다. 확실성등가는 위험을 갖고 있는 현금흐름 대신 택할 수 있는 안전한 현금흐름입니다.
위 그래프에서 효용의 기대값인 EU(x)에 해당하는 수익율(그래프에서 a점)이 기대수익율 E(x)보다 작다는 것에 주목하세요. 어떤 프로젝트에서 얻을 기대수익율보다 더 적은 수익율에서 평균적으로 만족할 수 있다는 얘기입니다. 효용의 평균값에 해당하는 수익율이 프로젝트의 실제 기대수익율보다 더 작기 때문입니다. 그것이 확실성등가입니다. 위 그래프에서 a 포인트가 확실성등가입니다.
x1과 x2의 기대값보다 더 적은 수익율에도 안정적이기만 하다면 만족할 수 있는 것이므로 risk-averse입니다. 역으로 어떤 프로젝트의 기대수익율 E(x)보다 더 큰 수익이 예상되는 곳에 확실성등가 CE가 있는 사람은 사람은 risk-seeking입니다. 리스크가 있는 현금흐름 쪽을 택하는 것입니다. (현실적으로 이런 사람은 거의 없습니다. 기대수익율이 낮은데도 더 위험한 것을 택하는 사람은 없습니다.) 위 그래프를 다시 봅시다. 위로 볼록한 경우 CE가 E(x)의 왼쪽에 오게 되고, 반대로 아래로 볼록하면 CE가 E(x)보다 오른쪽에 위치합니다. 그래서 위로 볼록한 것이 위험회피형의 효용-수익율 곡선입니다.
그래프에서 살펴본 E(x)와 CE의 차를 위험프리미엄, 리스크프리미엄(risk premium)이라고 정의합니다. 정의대로, 안전한 현금흐름 대신 위험이 있는 현금흐름을 택할 때 받고자 하는 기대수익율의 차이입니다.
위험 프리미엄 = E(x) - CE
위험 프리미엄 값이 0보다 크다면, 즉 CE보다 E(x)가 더 크다면 위험회피형입니다. 합리적이라면 다 여기에 해당합니다. 0이면 risk-neutral입니다. 0보다 작으면 risk-seeking으로 정의할 수 있습니다.
더 큰 수익율을 기대하며 리스크를 안는 타입이 리스크추구형이 아닙니다. 같은 기대수익율인데도 더 위험이 큰 쪽을 선호하는 것입니다. 이런 유형은 거의 없습니다.
